（−1）×（−1）＝1の数学的証明が凄すぎて大草原back ▼
（−1）×（−1）＝1の数学的証明が凄すぎて大草原
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足し算の定義：0と?が存在して結合法則と交換法則を満たすような演算のことを足し算と呼ぶ
0の定義：a＋0＝a
?の定義：?a＋a＝0
結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c）
交換法則：a＋b＝b＋a
掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たすような演算のことを掛け算と呼ぶ
1の定義：a×1＝a
結合法則：a×b×c＝a×（b×c）
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
これらの定義だけを使って（?1）×（?1）＝1を証明することができます
（?1）×（?1）
＝（?1）×（?1）＋0 ※0の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1＋1） ※?の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1）＋1 ※結合法則
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※分配法則
＝（?1）×0＋1 ※?の定義
＝（?1）×0＋1＋0 ※0の定義
＝（?1）×0＋0＋1 ※交換法則
＝（?1）×0＋（?1＋1）＋1 ※?の定義
＝（?1）×0＋（?1）＋1＋1 ※結合法則
＝（?1）×0＋（?1）×1＋1＋1 ※1の定義
＝（?1）×（0＋1）＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（1＋0）＋1＋1 ※交換法則
＝（?1）×1＋1＋1 ※0の定義
＝?1＋1＋1 ※1の定義
＝0＋1 ※?の定義
＝1＋0 ※交換法則
＝1 ※0の定義
2
すごい（小並感）
3
やっぱ数学者ってアスペだわ
6
よく読んだら言ってることが分かるのがすごい
確かに定義から完璧に証明できてる
7
分配法則がキモなのかね？
13
>>7
そうだよ
分配法則を満たすように掛け算を負の数まで拡張するためにはマイナス×マイナスをプラスにするしかないんや
分配法則が本質
9
ぐうの音も出ない正論が証明やからな
14
この証明問題出したら答えれる受験生どんだけおるにゃろ
20
>>14
これ大学2年生レベルやで…
ワイ大学2年の代数の授業（環の定義）で似たようなことやった
まあ内容は中学生でも分かりそうだけどね
18
たぶん半分の大学生はこれ無理やろ
16
e^iπ*e^iπ=e^i2π=cos2π+isin2π=1+i0=1
17
>>16
オイラーの公式ぐうすこ
ワイらの公式は何やろね
25
上から順に読んだら確かに定義しか使ってなくて凄いと思った
だけど自分で証明するのは絶対に無理や
数学やってるやつはみんなこれ自分で証明できるんか？
45
>>25
大抵の人は瞬殺やで
群とか環の定義と性質を理解してればできるからね
ただ専門分野が解析系の人はできないかも
26
1×0＝0っていうのは掛け算の定義ではないんやな
28
>>26
1×（?1＋1）から辿ることになるんやろね
29
>>26
ちゃうで
0というのは足し算しても変わらない数というのが定義や
そんで0の定義と分配法則からa×0＝0が証明できる
27
なんやこれ草
本当にあってるんか？
47
>>27
合ってるで
突っ込みどころがあるとしたら
＞＝（?1）×0＋1＋0 >>0の定義
＞＝（?1）×0＋0＋1 ※交換法則
この部分やな
ここは交換法則と結合法則を両方使ってる
a＋b＋c＝a＋（b＋c）＝a＋（c＋b）＝a＋c＋b
とすべきなんやな正確にやるなら
41
ワイ文系、途中までうんうんと読んでいくも分配法則で「は？」となる
49
>>41
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
a=-1
b=-1
c=1
とすると
(-1)×（-1＋1）＝(-1)×(-1)＋(-1)×1
だから
（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※分配法則
やろ
42
１＋１＝２の証明と比べたら大したことなかった
118
>>42
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011667290?fr=rcmd_chie_detail
これかな？
51
一般教養の論理学の講義で足し算の証明やらされて死ぬかと思ったわ
53
>>51
文系で論理学は辛いわ
ワイも記号論理学分からなさすぎて泣いた
54
>>53
ホンマやね
述語論理の基礎くらいまでは何とかなったけど健全性の証明あたりで嫌になって行かなくなったわ
57
★（?1）×（?1）＝1の数学的証明★
足し算の定義：0と?が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
0の定義：a＋0＝a
?の定義：?a＋a＝0
結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c）
交換法則：a＋b＝b＋a
掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
1の定義：a×1＝a
結合法則：a×b×c＝a×（b×c）
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
これらの定義だけを用いて（?1）×（?1）＝1を証明する
（?1）×（0＋1）＋1＋1
＝（?1）×0＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×0＋（?1）＋1＋1 ※1の定義
＝（?1）×0＋（?1＋1）＋1 ※結合法則
＝（?1）×0＋0＋1 ※?の定義
＝（?1）×0＋1 ※0の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※?の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1）＋（?1）＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1＋1） ※結合法則
＝（?1）×（?1）＋0 ※?の定義
＝（?1）×（?1） ※0の定義
（?1）×（0＋1）＋1＋1
＝（?1）×（1＋0）＋1＋1 ※交換法則
＝（?1）×1＋1＋1 ※0の定義
＝?1＋1＋1 ※1の定義
＝0＋1 ※?の定義
＝1＋0 ※交換法則
＝1 ※0の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
65
>>57
これは読みやすい！
有能
68
>>57
簡略版
（?1）×（0＋1）＋1＋1
＝（?1）×0＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
59
数学って国語と同じようなもんなのね
60
>>59
国語よりも厳密だけどな
62
>>59
数式は言葉ってよく言うからな
世界一論理的な言語だと考えればいいやろ
67
>>59
ほんこれ 数学できるけど国語は苦手とか国語はできるけど数学はってやつは単にやり方知らないだけと思う
まあ国語は言葉の裏を察したり数学は見方を変えたりとが必要だけど
73
足し算の定義と掛け算の定義が分からん 0と?が存在するってどういう事やねん
77
>>73
どんなaに対してもa＋x＝aとなるようなxが存在するような演算を足し算と呼ぼう
そんでこのxを0と名付けよう
96
>>77
遅くなったけどサンガツ
でもやっぱり分かりそうで分からんわ…
97
>>96
0がないと困るやん
結合法則成り立たないと困るやん
そういう不可欠なのを抽出したのが足し算の定義やん
100
>>97
うーん 分からん
「存在して」ってそら存在するやん って感じや 何か日本語の問題やろか
102
>>96
高校までしか数学やってないなら疑問に思うのは正しいで
数学では演算を抽象化して捉えるんや
足し算とか掛け算とか言ってるのは中高年が想像する足し算や掛け算よりももっと抽象化された概念なんや
例えばベクトルの足し算とか行列の足し算とか集合の足し算とか全部足し算の一種
もちろん中高年が2＋3＝5みたいにやる馴染みのある足し算も足し算の一種ということになる
こういう色んな足し算に共通する性質が0があってどんな数にも?があって結合法則や交換法則を満たすということ（ちなみにベクトルの足し算では長さのないベクトルが0、集合の足し算では空集合が0）
そんでこの性質を満たすものを全部足し算と呼ぶんや
例えば0と1しかなくて0＋0＝0、0＋1＝1、1＋1＝0とするって勝手に決めても足し算の定義を満たすから数学的にはこれも立派な足し算になるんや
だけど0なしで勝手に演算を決めてもそれは足し算とは呼ばない
0があるっていうのは足し算の本質的な特徴の一つやからこれがないと足し算について証明した色んな定理が使えなくなってしまうわけ
こんな感じで分かるか？
112
>>102
高校生までしか まで読んだ(嘘です全部読みました)
ほんまにサンガツやで 丁寧すぎてびっくりしてもうた
全部分かった言うたら嘘なるけど さっきより理解は深まった思う 雰囲気は掴めたわサンガツやで
0とか?っていう記号の意味する概念が存在する って事を定義してるって感じかな ちょっと数学楽しそうやな
78
定義だけを使って答えを導くパズルだと思えば面白いね
結局-1×-1が1になるのは足し算や掛け算の定義をこうしたらそうなるってだけの話なんやね
82
ワイ、上から読んでガチで発狂
83
一行目からもう嫌
94
中学生の頃、先生に
マイマイやろ？そしたらプラプラになんねん
だから答えは1やで
と習い、完全に理解
99
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