（−1）×（−1）＝1の数学的証明が凄すぎて大草原
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足し算の定義：0と?が存在して結合法則と交換法則を満たすような演算のことを足し算と呼ぶ
0の定義：a＋0＝a
?の定義：?a＋a＝0
結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c）
交換法則：a＋b＝b＋a
掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たすような演算のことを掛け算と呼ぶ
1の定義：a×1＝a
結合法則：a×b×c＝a×（b×c）
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
これらの定義だけを使って（?1）×（?1）＝1を証明することができます
（?1）×（?1）
＝（?1）×（?1）＋0 ※0の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1＋1） ※?の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1）＋1 ※結合法則
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※分配法則
＝（?1）×0＋1 ※?の定義
＝（?1）×0＋1＋0 ※0の定義
＝（?1）×0＋0＋1 ※交換法則
＝（?1）×0＋（?1＋1）＋1 ※?の定義
＝（?1）×0＋（?1）＋1＋1 ※結合法則
＝（?1）×0＋（?1）×1＋1＋1 ※1の定義
＝（?1）×（0＋1）＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（1＋0）＋1＋1 ※交換法則
＝（?1）×1＋1＋1 ※0の定義
＝?1＋1＋1 ※1の定義
＝0＋1 ※?の定義
＝1＋0 ※交換法則
＝1 ※0の定義
引用元: ・（?1）×（?1）＝1の数学的証明が凄すぎて大草原
2:
すごい（小並感）
6:
よく読んだら言ってることが分かるのがすごい
確かに定義から完璧に証明できてる
7:
分配法則がキモなのかね？
13:
>>7
そうだよ
分配法則を満たすように掛け算を負の数まで拡張するためにはマイナス×マイナスをプラスにするしかないんや
分配法則が本質
それを厳密にしっかり証明したのが>>1やね
9:
ぐうの音も出ない正論が証明やからな
10:
フェルマーの最終定理の証明過程なんて考えたくもないな
11:
だから証明問題はいややねん
あんなんひねくれてなきゃできんやろ(すごい)
12:
数学のテストいっつも15点くらいやったわ
16:
e^iπ*e^iπ=e^i2π=cos2π+isin2π=1+i0=1
22:
>>16
なにわろとんねん
17:
>>16
オイラーの公式ぐうすこ
ワイらの公式は何やろね
19:
>>17
46:
>>17
21:
やってることはわかる
いきなりやれと言われたら無理
25:
上から順に読んだら確かに定義しか使ってなくて凄いと思った
だけど自分で証明するのは絶対に無理や
数学やってるやつはみんなこれ自分で証明できるんか？
45:
>>25
大抵の人は瞬殺やで
群とか環の定義と性質を理解してればできるからね
ただ専門分野が解析系の人はできないかも
26:
1×0＝0っていうのは掛け算の定義ではないんやな
28:
>>26
1×（?1＋1）から辿ることになるんやろね
43:
>>26
ワイ天才
>>1を読んで完璧に証明のやり方を理解する
a×0
＝a×0＋0 ※0の定義
＝a×0＋（?a＋a） ※?の定義
＝a×0＋（?a）＋a ※結合法則
＝a×0＋a＋（?a） ※交換法則
＝a×0＋a×1＋（?a） ※1の定義
＝a×（0＋1）＋（?a） ※分配法則
＝a×（1＋0）＋（?a） ※交換法則
＝a×1＋（?a） ※0の定義
＝a＋（?a） ※1の定義
＝?a＋a ※交換法則
＝0 ※?の定義
合ってる？
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48:
>>43
合ってる
一発でこれ書けたのは才能あるで
数学やったほうがええで
27:
なんやこれ草
本当にあってるんか？
47:
>>27
合ってるで
突っ込みどころがあるとしたら
＞＝（?1）×0＋1＋0 >>0の定義
＞＝（?1）×0＋0＋1 ※交換法則
この部分やな
ここは交換法則と結合法則を両方使ってる
a＋b＋c＝a＋（b＋c）＝a＋（c＋b）＝a＋c＋b
とすべきなんやな正確にやるなら
30:
こんなん覚えて何に使えるんや（文並感）
38:
で、その定義とやらはどうやって、証明するんや？
40:
>>38
定義は証明するもんちゃうで
いつも東から太陽が昇ってくるようなもんや
太陽が昇ってくる方を東と呼ぶんやからな
39:
理解するのにめっちゃ時間かかったわ
ヤッパ数学はむずかしい
41:
ワイ文系、途中までうんうんと読んでいくも分配法則で「は？」となる
49:
>>41
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
a=-1
b=-1
c=1
とすると
(-1)×（-1＋1）＝(-1)×(-1)＋(-1)×1
だから
（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※分配法則
やろ
42:
１＋１＝２の証明と比べたら大したことなかった
118:
>>42
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1011667290?fr=rcmd_chie_detail
これかな？
51:
一般教養の論理学の講義で足し算の証明やらされて死ぬかと思ったわ
53:
>>51
文系で論理学は辛いわ
ワイも記号論理学分からなさすぎて泣いた
54:
>>53
ホンマやね
述語論理の基礎くらいまでは何とかなったけど健全性の証明あたりで嫌になって行かなくなったわ
57:
※文字がズレて読みにくい場合は↓こちらの画像が分かりやすいかも
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★（?1）×（?1）＝1の数学的証明★
足し算の定義：0と?が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
0の定義：a＋0＝a
?の定義：?a＋a＝0
結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c）
交換法則：a＋b＝b＋a
掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
1の定義：a×1＝a
結合法則：a×b×c＝a×（b×c）
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
これらの定義だけを用いて（?1）×（?1）＝1を証明する
（?1）×（0＋1）＋1＋1
＝（?1）×0＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×0＋（?1）＋1＋1 ※1の定義
＝（?1）×0＋（?1＋1）＋1 ※結合法則
＝（?1）×0＋0＋1 ※?の定義
＝（?1）×0＋1 ※0の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※?の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1）＋（?1）＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1＋1） ※結合法則
＝（?1）×（?1）＋0 ※?の定義
＝（?1）×（?1） ※0の定義
（?1）×（0＋1）＋1＋1
＝（?1）×（1＋0）＋1＋1 ※交換法則
＝（?1）×1＋1＋1 ※0の定義
＝?1＋1＋1 ※1の定義
＝0＋1 ※?の定義
＝1＋0 ※交換法則
＝1 ※0の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
65:
>>57
これは読みやすい！
有能
68:
>>57
簡略版
（?1）×（0＋1）＋1＋1
＝（?1）×0＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×0＋1 ※1の定義、結合法則、?の定義、0の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※?の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1） ※1の定義、結合法則、?の定義、0の定義
（?1）×（0＋1）＋1＋1
＝1 ※交換法則、0の定義、1の定義、?の定義、交換法則、0の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
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70:
>>68
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1） ※1の定義、結合法則、?の定義、0の定義
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝1 ※?の定義、交換法則、0の定義、1の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
これでどうだ
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61:
分からん 上から読んでも分からん ワイはやっぱりアホなんやな
64:
>>61
文系ワイでも分かったぞ
クッソ分かりやすいやん
数学ってこういうことなんやなぁって思った
63:
ちゃんと読むとわかるのがすごい
66:
有能が集まるスレ
69:
おんj民って頭ええんやなぁ
71:
理科大やと1年の頃やった気がする
73:
足し算の定義と掛け算の定義が分からん 0と?が存在するってどういう事やねん
77:
>>73
どんなaに対してもa＋x＝aとなるようなxが存在するような演算を足し算と呼ぼう
そんでこのxを0と名付けよう
96:
>>77
遅くなったけどサンガツ
でもやっぱり分かりそうで分からんわ…
97:
>>96
0がないと困るやん
結合法則成り立たないと困るやん
そういう不可欠なのを抽出したのが足し算の定義やん
74:
一般の可換体の演算やな
103:
>>74
この証明は非可換環でも使える証明やで
105:
>>103
ただ1の存在を前提にしてるから1のある非可換環だけな
76:
※文字がズレて読みにくい場合は↓こちらの画像が分かりやすいかも
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★（?1）×（?1）＝1の数学的証明★
【定義】
足し算の定義：0と?が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
0の定義：a＋0＝a
?の定義：?a＋a＝0
結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c）
交換法則：a＋b＝b＋a
掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
1の定義：a×1＝a
結合法則：a×b×c＝a×（b×c）
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
これらの定義だけを用いて（?1）×（?1）＝1を証明する
【証明】
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝（?1）×（?1＋1）＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1＋1）＋（?1）＋1＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋（?1＋1）＋1 ※結合法則
＝（?1）×（?1＋1）＋0＋1 ※?の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※0の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1）＋（?1）＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1＋1） ※結合法則
＝（?1）×（?1）＋0 ※?の定義
＝（?1）×（?1） ※0の定義
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝（?1）×（0＋1）＋1＋1 ※?の定義
＝（?1）×（1＋0）＋1＋1 ※交換法則
＝（?1）×1＋1＋1 ※0の定義
＝?1＋1＋1 ※1の定義
＝0＋1 ※?の定義
＝1＋0 ※交換法則
＝1 ※0の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
【簡略版】
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1） ※1の定義、結合法則、?の定義、0の定義
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝1 ※?の定義、交換法則、0の定義、1の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
84:
>>76
一行ずつゆっくり読んでいったら文系のワイにも分かったで
数学って凄いンゴ
サンキューガッツ
78:
定義だけを使って答えを導くパズルだと思えば面白いね
結局-1×-1が1になるのは足し算や掛け算の定義をこうしたらそうなるってだけの話なんやね
82:
ワイ、上から読んでガチで発狂
83:
一行目からもう嫌
87:
※文字がズレて読みにくい場合は↓こちらの画像が分かりやすいかも
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★（?1）×（?1）＝1の数学的証明★
【定義】
足し算の定義：0と?が存在して結合法則と交換法則を満たす演算
0の定義：a＋0＝a
?の定義：?a＋a＝0
結合法則：a＋b＋c＝a＋（b＋c）
交換法則：a＋b＝b＋a
掛け算の定義：1が存在して結合法則と分配法則を満たす演算
1の定義：a×1＝a
結合法則：a×b×c＝a×（b×c）
分配法則：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
これらの定義だけを用いて（?1）×（?1）＝1を証明する
【証明】
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝（?1）×（?1＋1）＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1＋1）＋（?1）＋1＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋（?1＋1）＋1 ※結合法則
＝（?1）×（?1＋1）＋0＋1 ※?の定義
＝（?1）×（?1＋1）＋1 ※0の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1）＋（?1）＋1 ※1の定義
＝（?1）×（?1）＋（?1＋1） ※結合法則
＝（?1）×（?1）＋0 ※?の定義
＝（?1）×（?1） ※0の定義
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝（?1）×（0＋1）＋1＋1 ※?の定義
＝（?1）×（1＋0）＋1＋1 ※交換法則
＝（?1）×1＋1＋1 ※0の定義
＝?1＋1＋1 ※1の定義
＝0＋1 ※?の定義
＝1＋0 ※交換法則
＝1 ※0の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
【簡略版】
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝（?1）×（?1）＋（?1）×1＋（?1）×1＋1＋1 ※分配法則
＝（?1）×（?1） ※1の定義、結合法則、?の定義、0の定義
（?1）×（?1＋1＋1）＋1＋1
＝1 ※?の定義、交換法則、0の定義、1の定義
∴（?1）×（?1）＝1 Q.E.D.
88:
>>862
＋マイナスは裏返されたカードがたされるようなもんなんと違うかな
89:
>>88
そのイメージやな
90:
>>88
裏返すカードが貯まるのが足し算になって裏返したものを裏返すのが掛け算になる理由が分からんやん
逆でもええやん
107:
なんか新聞読んでる感覚
114:
偶数より整数の総数の方が多い→分かる
整数より偶数の総数が方が多い→アホかお前
偶数と整数の総数は同じ→ファッ?!
119:
ワイ将、言ってることは何となく理解できるがやりたいとは思わない
121:
わざわざやる意味
94:
中学生の頃、先生に
マイマイやろ？そしたらプラプラになんねん
だから答えは1やで
と習い、完全に理解
#kako_link a {color:#0000ff;}
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数学者のマジキチエピソードワロタｗｗｗｗｗ
#out_link a { color:#0000ff;}
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コメント
1 不思議な
これは解かりやすい
2 不思議な
数学科の一年生レベル
3 不思議な
目が滑ってまったく理解できない（小生、数学の試験は常に一けたでした）
4 不思議な
あれやろ、毒が裏返ったって考えればええんやろ？
5 不思議な
ほーん、で？（文並感）
6 不思議な
証明問題は読んでると楽しいな
7 不思議な
足し算の定義に０が出てくるのが
全く受け入れがたい
自然数で足し算できんやん
あほすぎる
8 不思議な
1+2+3+4+…n = -1/12
おれは絶対に認めない
こんなの数学に致命的な欠点があるとしか思えない
9 不思議な
ネトウヨ「やっぱり日本人は凄い（思考停止」
なお、日本人が考えたわけではない模様
10 不思議な
※7
0は自然数に含まないっていうのは学校教育における便宜上の説明
それ以上になると普通に0を自然数として扱ったりする（分野によって違う）
11 不思議な
でも 借金に借金掛けてもプラスになれへん。
なんでや？
12 不思議な
※10
偉そうにいうなら
せめて未解決の定理のひとつでも証明してみなよｗ
それができないってことは
「そうだね」で聞き流して済むレベルの人間だろｗ
お前もｗ
13 不思議な
なんや定義ないとなんにもできひんのかい
よくわからん
14 不思議な
元々、この定義を導き出した物理的な現象やらは何なの？
何のために開発された道具なの？
これらの正確性を担保する認識とは一体？？
15 不思議な
そりゃそもそも数学の世界自体が人間か勝手にルール決めた世界やからな
16 不思議な
ファッ！？途中で解けてるやんけ！！
って思ったらa×0は定義に無いんやな
相変わらず回りくどい事やってんなーて感じ
17 不思議な
地面を0として+は山、-は穴（地面を基準に方向が逆になる）
-1+1=0 > 1つの穴に1つの山の分の土を入れると地面は平らになるって事
2x3=6 > 2つの山が3組あれば全部で6山
3x2=6 > 3つの山が2組あっても全部で6山(答えは上と同じになる)
(-2)x3=-6 > 2つの穴が3組あれば全部で6穴
3x(-2)=-6 > 3つの山が2組逆にあれば全部で6穴(答えが上と同じになる)
(-1)x(-1)=1 > 1つの穴が1組逆にあれば全部で1山
…って理解してる
18 不思議な
厳密に言えば結合･交換･分配法則も定義じゃなくて、足し算掛け算の基本定義から証明出来る法則だからな
さらに長くなっちゃうからこの証明においてはもう当たり前のことにしてるだけで
19 不思議な
なんとなくだけど、解りやすい解説を親切にありがと。
数学の難問のドキュメンタリーなんか観たら面白いのに、
なぜ学生時代に興味が持てなかったのか残念だわ。
他の国はどうか知らないけど、学校での教え方が逆方向なんじゃないのかな。
現実には、何のために学習するのかというところから教えるのは時間が掛かりすぎて非現実的なんだろうけどね。
20 不思議な
分配法則でわけが分からん。ワイには無理ンゴ。
21 不思議な
理論つか根回し段取り大切
22 不思議な
定義とか証明とか知らん。ゼロはマイナスとプラスの間にある境目(鏡)だと思って計算してるわ
23 不思議な
もっと楽な定義にしたらええやん（アホ並の感想）
24 不思議な
作者の気持ち理解できた方が実社会で役に立つんだよなあ
25 不思議な
公理、幾何はお腹いたくなる
代数は力ずくだからお腹へる
26 不思議な
>>1でお題出して解くって、そうろう？
27 不思議な
※23
こういうのは定義の数が少ないほど(より大変な事になるw)良いんだよ
定義のチェックだけすれば後は全部OKなんだから
定義の数が少ないって事は、チェックが楽って事です(デバッガー視点)
でも、それじゃあ使ったり解いたりしたい人が大変だから、公式とか定理とかを定義を使っていっぱい作る
単に道具として数学を使いたい人は、公式・定理を使ってゴニョゴニョするの
28 不思議な
微分積分とか確率統計学とかは好きだけど
数理論理学は嫌だ・・・
読んでてずっと薄暗い森の中を彷徨う感じがする
29 不思議な
使う側の人は数理論理は必要になるまでやらなくても良いと思う
重箱の隅つつくようにして完璧を目指すものだから
研究している人やプログラムとかでライブラリを作る人とかは数理論理知っといた方がいいと思うけど
モノづくりでは最終仕上げにあたる工程だね
30 不思議な
大学で数学科だったけどこんな感じだったわ。逆に単純な計算でも「今考えている数の世界でこの演算は使えるか」とかつい疑うようになった。(使えるというのは曖昧な言葉だけど、適切な表現がパッと思い出せなかったので)
ここで書いてる1とか0とかも、あくまで演算における単位元を表しているだけであって、その集合の中で同じ性質を持つなら別に違う数(記号)でも構わない。
31 不思議な
数学を勉強していて群環体で衝撃を受けたな
抽象化して考えるとかそれまでに無かったから、ていうか抽象的って言葉の意味を実質これで初めて理解できたw
それまでは 抽象的＝難しい みたいなぼんやり無理解状態だったよ、この世の大半の人はこんな感じだよねw
これを勉強したおかげで、オブジェクト指向の導出とか、テンプレートプログラムとかすんなり受け入れられた
32 不思議な
生まれて消えて繰り返して?元に戻る
宇宙みたいなもんなんかな
33 不思議な
※9
病院に行ったほうがいいよ
そのネトウヨはお前の頭の中にしかいないから
34 不思議な
上を目指すのは暇人に任せておこう。
35 不思議な
高卒の俺には何がなんだかさっぱり解らん
36 不思議な
分配法則は環の定義の一部だが、整数における定義では無い。整数が通常の和と積により環になる事の証明を省くなら、これは「-1×-1=1は分配法則により自明」以上の事は言ってない。こんなのは証明ではありません。
37 不思議な
※24
「作者の気持」も設問の文章の範囲内という定義において、
こんな感じに理詰めで「気持」を読み取るものじゃないの？
ここまでこと細かにやるわけじゃないけどさ
それとも、F欄文系だと、なんとなくそう思ったで解答できるの？
38 不思議な
皆凄いンゴwさっぱり解らん。高卒だけど数学赤点ギリギリやったからなー。日本はオマイらに任せる！
39 不思議な
※38
思いっきり開きなおってて好き
40 不思議な
※36
>足し算の定義：0と?が存在して結合法則と交換法則を満たすような演算のことを足し算と呼ぶ
と書いてありますよ、-1が整数なんてどこにも書いてない
勝手に前提作って持ち出しちゃダメよん
41 不思議な
やべ全然わからんわ
42 不思議な
数学科に進む人や数学を王道的に学びたい人以外は知らなくても全く問題無い
43 不思議な
理由や段階に関係なく、不要な作業が混じってるだけの話
厳密でもないし
44 不思議な
>不要な作業が混じってるだけの話
こういう事をする場合は全部やらなきゃ駄目だ
一個一個定義に従ってテキスト置換を行っている、全部これだけで行えていることが大事
これ以外の前提は一切使われていない証だから
普通は、勿論やらないよ、手間かけてるだけで意味ないからね
まぁコンピュータプログラム使って式の変形とかする人は全部これやるんだけど、そういう人は奇特だろうから
どんな証明でも、定理の中身をどんどん芋ずる式に置換していくと、全てこのような定義を使った置換へと置き換えられるんだからね
45 不思議な
※43がもっとスマートな証明を書いてくれると聞いて
46 不思議な
この問題小学校から教えていたらもっと
理系が理解できる子が増えるんと違う？
理系脳ってのが発達しそう
47 不思議な
※46
教育の手間かかった上に、将来にも役立たずだと思うw
たまに頭のおかしい先生が、掛け算の左右を交換しちゃダメとか言い出してるの見るとうげぇとか思うわ
48 不思議な
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i☆Risの13thシングル8月リリース。「双星の陰陽師」新OP曲
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またビーズでロックマンいろいろ作ったよー
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